«Огромное количество впитываемых им музыкальных, литературных, философских познаний, пройдя через индивидуальность этого музыканта, переплавляется в драгоценный сплав глубины и простоты... С одной стороны, поражает многочисленность оживающих под его пальцами и проникающихся субъективной выразительностью деталей... С другой стороны, удивляет объективная гармоничность возникающего целого, ибо не только «дух», но и «буква» стиля соблюдены».
Альфред Шнитке

Алексея Любимова по праву называют одним из самых разносторонних и образованных музыкантов современности, чьи интересы простираются далеко за пределы музыки, охватывая самые разные области культуры и искусства. Окончив в 1968 году Московскую консерваторию, где его учителями были Генрих Нейгауз и Лев Наумов, Алексей Любимов — к тому времени лауреат нескольких крупных международных конкурсов — начинает активно гастролировать по стране. В сферу его интересов попадают новейшая музыка советских композиторов, которую он активно пропагандирует в России и за ее пределами, а также старинная музыка: он выступает инициатором  и руководителем ряда камерных ансамблей («Музыка — ХХ век» 1968–1975, «Московский квартет-барокко» 1975–1980).

Параллельно в 70-х и 80-х годах Алексей Любимов ведет активную сольную деятельность, выступая с крупнейшими симфоническими и камерными коллективами — в их числе можно назвать оркестры Ленинградской и Московской филармоний, филармонические оркестры Лос-Анджелеса и Хельсинки, камерный оркестр Нидерландов,

Лондонский королевский филармонический оркестр, симфонические оркестры Торонто и Токио, филармонический оркестр Радио Франции, Венская академия и многие другие. Его партнерами в разное время становились такие дирижеры как Кирилл Кондрашин, Давид Ойстрах, Геннадий Рождественский, Марек Яновский, Владимир Ашкенази, Чарльз Маккерас, Нээми Ярви, Франц Брюгген, Эса-Пека Салонен, Юкка-Пека Сарасте. В камерных ансамблях с Алексеем Любимовым постоянно выступают Генрих Шифф, Наталия Гутман, Андреас Штайер, Петер Шрайер, Марк Пекарский, Кристиан Тетцлафф и другие выдающиеся музыканты современности.

Алексей Любимов — постоянный участник крупнейших фестивалей мира: Зальцбугского, Brliner Festwochen, фестивалей Иегуди Менухина в Гштааде и Гидона Кремера в Локенхаузе, «Каринтийское лето», фестиваля старинной музыки в Утрехте и многих других. В 1988 году он стал одним из инициатором создания московского фестиваля «Альтернатива», в рамках которого звучит новейшая академическая музыка российских и зарубежных авторов. Одновременно он является одним из самых убежденных сторонников аутентичного (исторически достоверного) исполнения, постоянно сотрудничая с крупнейшими коллективами и музыкантами, практикующими исполнение старинной музыки на оригинальных инструментах различных эпох.

Репертуар Алексея Любимова охватывает несколько столетий — в нем одинаково важное место уделено как клавирной музыке от Шамбоньера до Баха и Моцарта, так и музыке современных авторов от Шнитке и Пярта до Сильвестрова, Кнайфеля, Райха, Ноно и Кейджа. Алексею Любимову принадлежит обширная дискография на фирмах «Мелодия», Teldec, Sony Classical, BIS, Erato.

Пианист и клавесинист Алексей Любимов ведет активную преподавательскую деятельность, возглавляя созданный им в 1997 году факультет исторического и современного исполнительского искусства и являясь профессором университета «Моцартеум» в Зальцбурге. В 2003 году ему присвоено звание Народный артист России.