Родился в 1945 году в Москве. Начал свое дирижерское образование в Ленинградской  консерватории, завершил в Московской. В 1972 окончил Московскую консерваторию у Лео Гинзбурга, в 1975 — аспирантуру при ней. В 1972 году оркестр студентов Московской консерватории под управлением А.Лазарева завоевал I премию на конкурсе студенческих оркестров в Берлине.

В 1973 году после победы на Всесоюзном дирижерском конкурсе (в Москве) и Международном конкурсе Герберта фон Караяна (в Берлине) Александр Лазарев встал за пульт Большого театра России, в тот момент ему было 28 лет.

С 1987 по 1995 он был главным дирижером Большого. Под его управлением оперная труппа театра совершила беспрецедентную серию зарубежных гастролей, выступив в Токио (1989), в миланском театре «Ла Скала» (1989), в нью-йоркской Метрополитен Опера (1991) и на Эдинбургском фестивале (1990-1991).

Среди постановок, осуществленных в Большом театре с участием Александра Лазарева, были оперы «Млада» Римского-Корсакова и «Орлеанская дева» Чайковского, «Жизнь за царя» Глинки, «Князь Игорь» Бородина и др. В мире он получил известность как выдающийся интерпретатор русской музыки.

Сегодня Александр Лазарев продолжает свою деятельность в качестве оперного дирижера. За рубежом он поставил оперы «Кармен» Бизе (Италия), «Саломея» Рихарда Штрауса (Германия, Дюссельдорф), «Евгений Онегин» Чайковского (Швеция, Стокгольм). В год своего 60-летнего юбилея (2005) дирижер завершил сезон в Лионской опере (Франция) постановкой оперетты Д.Шостаковича «Москва-Черемушки». Дмитрий Шостакович всегда был одним из любимых авторов Александра Лазарева. Несколько лет тому назад он провел цикл «Все симфонии Шостаковича».

Его дебют за границей состоялся в Великобританиии в 1987 с Королевским Ливерпульским Оркестром. А.Лазарев много гастролировал за рубежом, как дирижер симфонических оркестров с исполнением произведений Берлиоза, Шостаковича, Прокофьева, Щедрина, Эшпая. Он выступал в качестве приглашенного дирижера с Мюнхенской Филармонией, Национальным оркестром Франции, с ведущими оркестрами Великобритании и Германии, США и Франции, Канады и Скандинавских стран, Австралии и Новой Зеландии. Несколько лет был главным приглашенным дирижером Лондонского симфонического оркестра Би-Би-Си в Великобритании, затем — главным дирижером Королевского национального оркестра Шотландии.

А.Лазарев сделал более 35 записей для «Мелодии», Virgin Classic и с симфоническим оркестром ВВС для Sony Classical.